Vector module

Laten we de vector analyseren. De eerste coördinaat is $ a_x = 4 $, en de tweede coördinaat is $ a_y = -3 $. Aangezien twee coördinaten worden gegeven, concluderen we dat het probleem vlak is. U moet de eerste formule toepassen. We vervangen de waarden uit de toestand van het probleem erin:

Als u uw probleem niet kunt oplossen, stuur het dan naar ons. We zullen een gedetailleerde oplossing bieden. U kunt vertrouwd raken met het berekeningsproces en informatie krijgen. Dit zal helpen om de leerkracht tijdig van de leerkracht te voorzien!

We merken meteen dat er een ruimtelijk probleem wordt gegeven. Namelijk $ a_x = 4, a_y = 2, a_z = 4 $. Om de lengte van de vector te vinden, gebruiken we de tweede formule. Vervang het onbekende door het:

Het probleem wordt vlak beoordeeld door de aanwezigheid van slechts twee coördinaten van de vectoren. Maar deze keer gezien het begin en einde van de vector. Daarom vinden we eerst de coördinaten van de vector $ overline $, en pas dan de lengte volgens de coördinatenformule:

Nu dat de coördinaten van de vector $ overline zijn $ werd bekend, je kunt de bekende formule gebruiken:

In het artikel hebben we de vraag beantwoord: "Hoe de lengte van een vector vinden?" formules gebruiken. En overwogen ook praktische voorbeelden van het oplossen van problemen in het vliegtuig en in de ruimte. Opgemerkt moet worden dat er vergelijkbare formules zijn voor ruimtes die meer dan driedimensionaal zijn.

De formule voor de lengte van een n-dimensionale vector

In het geval van n-dimensionale ruimte is de module van de vector a = <a ₁ een ₂,. een_n > kan worden gevonden met behulp van de volgende formule:

Voorbeelden van het berekenen van de lengte van een vector voor spaties met een dimensie groter dan 3

oplossing: | een | = √ 1 2 + (-3) 2 + 3 2 + (-1) 2 = √ 1 + 9 + 9 + 1 = √ 20 = 2√ 5

oplossing: | een | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 + 6 2 + 2 2 = √ 4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √ 76 = 2√ 19.

Obscene opmerkingen worden verwijderd en hun auteurs worden op de zwarte lijst geplaatst!

Welkom bij OnlineMSchool.
Mijn naam is Dovzhik Mikhail Viktorovich. Ik ben de eigenaar en auteur van deze site, ik heb al het theoretische materiaal geschreven en ook online oefeningen en rekenmachines ontwikkeld die je kunt gebruiken om wiskunde te studeren.

Inhoud

Om te benadrukken dat dit een vector is (en geen scalair), gebruikt u de regel hierboven, de pijl hierboven, vet of gothic:

Toevoeging van vectoren wordt bijna altijd aangegeven door een plusteken:

Vermenigvuldiging met een cijfer - eenvoudig door naast elkaar te schrijven, zonder een speciaal teken, bijvoorbeeld:

en het nummer staat meestal links.

Vermenigvuldiging met een matrix wordt ook aangegeven door ernaast te schrijven, zonder een speciaal teken, maar hier beïnvloedt de permutatie van de factoren in het algemene geval het resultaat. De actie van een lineaire operator op een vector wordt ook aangegeven door de operator aan de linkerkant te schrijven, zonder een speciaal teken.

Intuïtief wordt een vector begrepen als een object met een grootte, richting en (optioneel) een applicatiepunt. De beginselen van vectorcalcus verschenen samen met het geometrische model van complexe getallen (Gauss, 1831). Hamilton publiceerde de ontwikkelde operaties met vectoren als onderdeel van zijn quaternion-calculus (de denkbeeldige componenten van het quaternion vormden de vector). Hamilton stelde de term zelf voor vector (Lat. Vector, lager) en beschreef enkele bewerkingen van vectoranalyse. Dit formalisme werd door Maxwell gebruikt in zijn werken over elektromagnetisme, waardoor wetenschappers de aandacht vestigden op de nieuwe calculus. Gibbs (Elements of Vector Analysis) (1880s) kwam al snel uit, en toen gaf Heaviside (1903) vectoranalyse een moderne look. Er zijn geen algemeen geaccepteerde vectornotaties; vetgedrukt, een lijn of pijl boven een letter, het gotische alfabet, enz. Worden gebruikt.

In de geometrie betekenen vectoren directionele segmenten. Deze interpretatie wordt vaak gebruikt in computergraphics, het bouwen van verlichtingskaarten en het gebruik van normalen voor oppervlakken. Met vectoren kunt u ook de gebieden van verschillende figuren vinden, bijvoorbeeld driehoeken en parallellogrammen, evenals de volumes van lichamen: een tetraëder en een parallellepipedum.
Soms wordt een richting geïdentificeerd met een vector.

Een vector in geometrie wordt natuurlijk geassocieerd met een overdracht (parallelle overdracht), die uiteraard de oorsprong van zijn naam verduidelijkt (Latijnse vector, lager). Inderdaad, elk gericht segment definieert ondubbelzinnig een parallelle vertaling van een vlak of ruimte, en vice versa, definieert parallelle vertaling uniek een enkel gericht segment (ondubbelzinnig - als alle gerichte segmenten van dezelfde richting en lengte als gelijk worden beschouwd - dat wil zeggen dat ze als vrije vectoren worden beschouwd) .

Interpretatie van een vector als overdracht maakt een natuurlijke en intuïtieve manier mogelijk om de bewerking van het toevoegen van vectoren te introduceren - als een compositie (opeenvolgende toepassing) van twee (of meerdere) overdrachten is hetzelfde van toepassing op de bewerking van het vermenigvuldigen van de vector met een getal.

In lineaire algebra is een vector een element van een lineaire ruimte, die overeenkomt met de onderstaande algemene definitie. Vectoren kunnen een ander karakter hebben: gerichte segmenten, matrices, getallen, functies en andere, echter, alle lineaire ruimtes van dezelfde dimensie zijn isomorf ten opzichte van elkaar.
Dit concept van een vector wordt meestal gebruikt bij het oplossen van systemen van lineaire algebraïsche vergelijkingen, evenals bij het werken met lineaire operatoren (een voorbeeld van een lineaire operator is de rotatie-operator). Vaak wordt deze definitie uitgebreid door een norm of een scalair product (mogelijk beide) te definiëren, waarna ze werken op genormaliseerde en Euclidische ruimtes, het idee van de hoek tussen de vectoren verbinden met het scalaire product, en het begrip van de lengte van de vector met de norm. Veel wiskundige objecten (bijvoorbeeld matrices, tensoren, enz.), Waaronder objecten met een algemenere structuur dan een eindige (en soms zelfs telbare) geordende lijst, voldoen aan de axioma's van een vectorruimte, dat wil zeggen, vanuit het oogpunt van algebra zijn het vectoren .

Functionele analyse beschouwt functionele ruimtes - oneindig-dimensionale lineaire ruimtes. Hun elementen kunnen functies zijn. Op basis van deze weergave van een functie is de theorie van Fourier-serie geconstrueerd. Evenzo wordt bij lineaire algebra vaak een norm, een scalair product of een metriek op een functieruimte geïntroduceerd. Sommige methoden voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen, bijvoorbeeld de eindige-elementenmethode, zijn gebaseerd op het concept van een functie als element van een Hilbert-ruimte.

De meest algemene definitie van een vector wordt gegeven door middel van algemene algebra:

Veel resultaten van lineaire algebra zijn gegeneraliseerd naar unitaire modules over niet-commutatieve lichamen en zelfs willekeurige modules over ringen, dus in het meest algemene geval kan in sommige contexten elk element van een module over een ring een vector worden genoemd.

Vector, als een structuur met zowel grootte (module) als richting, wordt in de fysica beschouwd als een wiskundig model van snelheid, kracht en gerelateerde grootheden, kinematisch of dynamisch. Het wiskundige model van veel fysieke velden (bijvoorbeeld elektromagnetische velden of fluïdumsnelheidvelden) zijn vectorvelden.

Abstracte multidimensionale en oneindig-dimensionale (in de geest van functionele analyse) vectorruimten worden gebruikt in het Lagrangiaanse en Hamiltoniaanse formalisme zoals toegepast op mechanische en andere dynamische systemen, evenals in de kwantummechanica (zie State Vector).

vector - (reeks, tupel) van homogene elementen. Dit is de meest algemene definitie in die zin dat gewone vectorbewerkingen misschien helemaal niet worden gespecificeerd, ze kunnen minder zijn of ze voldoen mogelijk niet aan de gebruikelijke axioma's van de lineaire ruimte. Het is in deze vorm dat de vector wordt begrepen in de programmering, waar deze in de regel wordt aangeduid door een identificatienaam met vierkante haken (bijvoorbeeld voorwerp). De lijst met eigenschappen modelleert de definitie van de klasse en de status van een object dat in de systeemtheorie wordt geaccepteerd. Het type vectorelementen bepaalt dus de klasse van het object en de waarden van de elementen bepalen de status. Het is echter waarschijnlijk dat dit gebruik van de term al verder gaat dan wat gewoonlijk wordt geaccepteerd in algebra en in de wiskunde in het algemeen.

Toevoeging van vectoren. Vector hoeveelheid. Regels voor het toevoegen van vectoren. Geometrische som. Online rekenmachine

In mechanica zijn er twee soorten hoeveelheden:

• scalaire hoeveelheden specificeren van een numerieke waarde - tijd, temperatuur, massa, etc.
• vector hoeveelheden die samen met een bepaalde numerieke waarde de richting bepalen - snelheid, kracht, enz.

We beschouwen eerst de algebraïsche benadering van de toevoeging van vectoren.

Coördineren van toevoeging van vectoren.

Laat twee vectoren die qua coördinaten zijn gegeven worden gegeven (om de coördinaten van een vector te berekenen, is het noodzakelijk om de overeenkomstige coördinaten van zijn begin af te trekken van de overeenkomstige coördinaten van zijn einde, d.w.z. van de eerste coördinaat - de eerste, van de tweede - de tweede, etc.):

Vervolgens worden de coördinaten van de vector verkregen door deze twee vectoren toe te voegen berekend met de formule:

In het tweedimensionale geval is alles absoluut analoog, gooi gewoon de derde coördinaat weg.

Laten we nu verder gaan met de geometrische betekenis van het toevoegen van twee vectoren :.

Bij het toevoegen van vectoren moet rekening worden gehouden met hun numerieke waarden en richtingen. Er zijn verschillende veelgebruikte toevoegingsmethoden:

• parallellogramregel
• driehoeksregel
• goniometrische methode

Parallellogramregel.

De procedure voor het toevoegen van vectoren volgens de parallellogramregel is als volgt:

• teken de eerste vector, gezien zijn grootte en richting
• teken vanaf het begin van de eerste vector de tweede vector, ook gebruikmakend van zijn grootte en zijn richting
• de tekening aanvullen tot een parallellogram, ervan uitgaande dat twee getekende vectoren de zijkanten zijn
• de resulterende vector zal de diagonaal van het parallellogram zijn en het begin ervan zal samenvallen met het begin van de eerste (en dus de tweede) vector.

Driehoeksregel

De toevoeging van vectoren volgens de driehoeksregel is als volgt:

• teken de eerste vector met behulp van gegevens over de lengte (numerieke waarde) en richting
• teken de tweede vector vanaf het einde van de eerste vector, ook rekening houdend met de grootte en de richting ervan
• de resulterende vector zal een vector zijn waarvan het begin samenvalt met het begin van de eerste vector, en het einde met het einde van de tweede.

Trigonometrische methode

De resulterende additievector van twee coplanaire vectoren kan worden berekend met behulp van de cosinusstelling:

F = numerieke waarde van de vector

α = hoek tussen vectoren 1 en 2

De hoek tussen de resulterende vector en een van de originele vectoren kan worden berekend met de sinustelling:

α = hoek tussen de originele vectoren

Een voorbeeld is het toevoegen van vectoren.

Kracht 1 is 5 kN en werkt op het lichaam in een richting 80 ° anders dan de werkingsrichting van de tweede kracht, gelijk aan 8 kN.

De resulterende kracht wordt als volgt berekend:

F_gesneden = 1/2

De hoek tussen de resulterende kracht en de eerste kracht is gelijk aan:

En de hoek tussen de tweede en de resulterende kracht kan als volgt worden berekend: als

α = arcsin

Online vector toevoeging rekenmachine.

De onderstaande calculator kan worden gebruikt voor elke vectorgrootheid (kracht, snelheid, enz.) Het punt van oorsprong van de vector valt samen met het begin van beide bronvectoren.

Consulting en technisch
website-ondersteuning: Zavarka Team

Bekijk de video: - Module - What is a vector, what is a scalar. (Maart 2023).